Question

8．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=4x-5+$\sqrt{2x-3}$；
（2）y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)2x-3≥0便可得出4x-5和$\sqrt{2x-3}$的范圍，從而得出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）可將原函數(shù)整理成：yx²-3x+4y=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解，可看出需討論y：y=0時容易得出方程有解；y≠0時，方程為關(guān)于x的一元二次方程，從而有判別式△≥0，解該不等式并合并y=0便可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）2x-3≥0；
∴$4x-5≥1，\sqrt{2x-3}≥0$；
∴y≥1；
∴該函數(shù)的值域為[1，+∞）；
（2）由原函數(shù)得，yx²+4y=3x；
∴yx²-3x+4y=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①y=0時，x=0，滿足方程有解；
②y≠0時，則：△=9-16y²≥0；
∴$-\frac{3}{4}≤y≤\frac{3}{4}$；
∴該函數(shù)的值域為$[-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求值域．