Question

9．函數(shù)f（x）是這樣定義的：對于任意整數(shù)m，當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足不等式|x-m|＜$\frac{1}{2}$時(shí)，有f（x）=m．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并畫出它在x∈D∩[0，3]上的圖象；
（2）若數(shù)列a_n=2+10•（$\frac{2}{5}$）ⁿ，記S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式的解法，解|x-m|＜$\frac{1}{2}$，可得定義域，并畫出圖象．
（2）分別求出f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），考查數(shù)列{f（a_{n ^）}} 的性質(zhì)，再求和．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是D={x||x-m|＜$\frac{1}{2}$}
={x|m-$\frac{1}{2}$＜x＜m+$\frac{1}{2}$，m∈Z}
圖象如圖所示，
（2）由于a_n=2+10•（$\frac{2}{5}$）ⁿ，
所以f（a_n）=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{4，n=2}\\{3，n=3}\\{2，n≥4}\end{array}\right.$，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=6，
n=2時(shí)，S₂=f（a₁）+f（a₂）=6+4=10，
n=3時(shí)，S₃=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=6+4+3=13，
n＞3時(shí)，S_n=6+4+3+2（n-3）=2n+7，
因此S_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{10，n=2}\\{2n+7，n≥3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查閱讀理解、計(jì)算、分類討論思想和能力．正確理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化成已有的知識，用已有的方法解決此類問題共同的策略．