Question

14．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè) AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{{B_1}C}與\overrightarrow{{A_1}P}$所成角的大小為60°，$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{{A_1}P}$=1．

Answer 1

分析 先建立空間坐標(biāo)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，
∵AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中點(diǎn)，
∴B₁（1，2，1），C=（0，2，0），A₁（1，0，1），P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{{A_1}P}$=1+0+0=1，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{A}_{1}P}$|=$\sqrt{2}$
設(shè)$\overrightarrow{{B_1}C}與\overrightarrow{{A_1}P}$所成角為θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
故答案為：60°，1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線(xiàn)線(xiàn)角的求法，屬于基礎(chǔ)題．