Question

19．已知f（x）是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0
• B． 對(duì)于任意x∈R，f（x）＞0
• C． 當(dāng)且僅當(dāng)x∈（-∞，1），f（x）＜0
• D． 當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

分析 由題意可得[（x-1）f（x）]′＞0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，結(jié)合f（x）為減函數(shù)可得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，f（x）是定義在R上的減函數(shù)，f′（x）＜0，
∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＞0，
∴[（x-1）f（x）]′＞0，
∴函數(shù)y=（x-1）f（x）在R上單調(diào)遞增，
而x=1時(shí)，y=0，則x＜1時(shí)，y＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x-1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴x≤1時(shí)，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0對(duì)任意x∈R成立，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造函y=（x-1）f（x）．