Question

19．已知f（x）是定義在R上的減函數，其導函數f′（x）滿足$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，則下列結論正確的是（　　）

• A． 對于任意x∈R，f（x）＜0
• B． 對于任意x∈R，f（x）＞0
• C． 當且僅當x∈（-∞，1），f（x）＜0
• D． 當且僅當x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

分析 由題意可得[（x-1）f（x）]′＞0，結合函數的單調性，從而可判斷當x＞1時，f（x）＞0，結合f（x）為減函數可得結論．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，f（x）是定義在R上的減函數，f′（x）＜0，
∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＞0，
∴[（x-1）f（x）]′＞0，
∴函數y=（x-1）f（x）在R上單調遞增，
而x=1時，y=0，則x＜1時，y＜0，
當x∈（1，+∞）時，x-1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定義在R上的減函數，
∴x≤1時，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0對任意x∈R成立，
故選：B．

點評 本題考查了導數的綜合應用，關鍵在于構造函y=（x-1）f（x）．