Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，CB=CC₁=4，∠BCA=90°，E、F、M、N分別是A₁B₁、AB、C₁B₁、CB的中點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（1）在平面ABB₁A₁內(nèi)找一點(diǎn)P，使△ABP為正三角形；
（2）能否在MN上求得點(diǎn)Q，使△AQB為以AB為斜邊的直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得P的橫縱坐標(biāo)與AB中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，豎坐標(biāo)的絕對(duì)值等于正三角形的高，進(jìn)而得到答案；
（2）若△AQB為以AB為斜邊的直角三角形，則$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，進(jìn)而得到答案；

解答 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，CB=CC₁=4，∠BCA=90°，
故AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+CB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
若△ABP為正三角形，則P到AB的距離為正三角形的高：2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{15}$，
又由P在平面ABB₁A₁內(nèi)，
故P的橫縱坐標(biāo)與AB中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，豎坐標(biāo)的絕對(duì)值等于正三角形的高，
∵AC=2，CB=4，
故AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2，0），
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2，±$\sqrt{15}$）；
（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2，z），
則$\overrightarrow{AQ}$=（-2，2，z），$\overrightarrow{BQ}$=（0，-2，z），
若△AQB為以AB為斜邊的直角三角形，
則$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，
即Z²=4，
解得：z=2，或z=-2（舍去），
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量數(shù)量積判斷向量的垂直，等邊三角形的性質(zhì)，難度中檔．