Question

6．函數(shù)f（x）=x²-2x-8，若對一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立．則實數(shù)m的取值最大為2．

Answer 1

分析 由已知可得x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，x＞2恒成立，即m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2，x＞2恒成立，結(jié)合基本不等式求出m的范圍，可得實數(shù)m的最大值．

解答 解：∵f（x）=x²-2x-8，
若對一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立．
則x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，x＞2恒成立，
即m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2，x＞2恒成立，
∵x-1＞1，
故（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{（x-1）\frac{4}{x-1}}$-2=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2取最小值2，
故m≤2，
即實數(shù)m的取值最大為2，
故答案為：2．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．