Question

16．下列函數中是奇函數的為（　　）

• A． y=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$
• B． y=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$
• C． y=2^cosx
• D． y=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）

Answer 1

分析 根據函數的定義域以及奇偶性的定義，對數的運算性質和三角函數的誘導公式對各選項做出判斷．

解答 解：根據奇偶性定義對一下各函數逐個判斷如下：
對于A選項，函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$，則f（-x）=$\frac{（-x）^2+cos（-x）}{（-x）^2-cos（-x）}$=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$=f（x），
所以，f（x）=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$為定義域上的偶函數；
對于B選項，函數f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，該函數在x=$\frac{π}{4}$處無定義，在x=-$\frac{π}{4}$處有定義，
所以，f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$的定義域不關于原點對稱，函數不具奇偶性；
對于C選項，函數f（x）=2^cosx，f（-x）=2^cos（-x）=2^cosx=f（x），
所以，f（x）=2^cosx，為定義域上的偶函數；
對于D選項，函數f（x）=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），
則f（x）+f（-x）=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）+lg（-sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）=lg1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）為定義域上的奇函數，符合題意．
故答案為：D．

點評 本題主要考查了函數奇偶性的判斷，涉及函數的定義域以及奇偶性定義，對數的運算性質和三角函數的誘導公式，屬于中檔題．