Question

11．有下列命題：
①在函數(shù)y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為π；
②命題：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a=0，則ab≠0”；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x₀∈R，使得sinx₀＞1；
⑤命題“若0＜a＜1，則log_a（a+1）＞log_a（1+$\frac{1}{a}$）”是真命題；
⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的序號(hào)是④⑤．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的周期，可判斷①；寫(xiě)出原命題的否命題，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；寫(xiě)出原命題的否定，可判斷④；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷⑤；求出C角的大小，可判斷⑥．

解答 解：①函數(shù)y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x的周期為π，相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為$\frac{1}{2}$π，故錯(cuò)誤；
②命題：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”，故錯(cuò)誤；
③“a≠5且b≠-5”時(shí)，“a+b≠0”不一定成立，故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不充分條件；
“a+b≠0”時(shí)，“a≠5且b≠-5”不一定成立，故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不必要條件；
綜上“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不充分不必要條件，故錯(cuò)誤；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x₀∈R，使得sinx₀＞1，故正確；
⑤若0＜a＜1，則a+1＜1+$\frac{1}{a}$，則log_a（a+1）＞log_a（1+$\frac{1}{a}$），故命題“若0＜a＜1，則log_a（a+1）＞log_a（1+$\frac{1}{a}$）”是真命題，故正確；
⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
兩式平方得：25+12（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sinC=$\frac{1}{2}$，則角C等于30°或150°．
當(dāng)C=150°時(shí)，A+B=30°，
此時(shí)3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°=$\frac{11}{2}$，這與3sinA+4cosB=6相矛盾，
∴C=30°，故錯(cuò)誤；
故答案為：④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的周期性，四種命題，充要條件，命題的否定，給值求角等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．