Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₃（8+2x-x²），g（x）=4^x-2^x+2+3．
（1）求函數(shù)f（x）定義域和值域；
（2）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）定義域相同，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)真數(shù)為正，確定函數(shù)f（x）的定義域，再根據(jù)真數(shù)的取值范圍得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域，運(yùn)用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）要使f（x）=log₃（8+2x-x²）有意義，
則8+2x-x²＞0，即（x+2）（x-4）＜0，
解得，x∈（-2，4），
所以，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?2，4），
又8+2x-x²=-（x-1）²+9∈（0，9]，
所以，f（x）∈（-∞，log₃9]，
即f（x）的值域?yàn)椋海?∞，2]；
（2）因?yàn)間（x）的定義域與f（x）的定義域相同，
所以，g（x）的定義域?yàn)椋海?2，4），
且g（x）=4^x-2^x+2+3=2^2x-4•2^x+3=（2^x-2）²-1，
其中，x∈（-2，4），2^x∈（$\frac{1}{4}$，16），所以，
①當(dāng)2^x=2時(shí)，g（x）取得最小值-1，
②當(dāng)2^x=16時(shí)，g（x）取得最大值195（不取等號），
所以，g（x）的值域?yàn)椋篬-1，195）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)定義域與值域的解法，涉及對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用到配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．