Question

7．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，A為橢圓上一點(diǎn)，$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，AF₂與y軸交與點(diǎn)M，若   $\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{MA}$，則橢圓離心率的值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 通過$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0可知AF₁⊥AF₂，通過設(shè)F₂M=5x，則MA=4x，利用△F₂OM∽△F₂AF₁可知x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$c，通過橢圓定義可知F₁A=2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，利用勾股定理可知${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$=${F}_{1}{A}^{2}$+${F}_{2}{A}^{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第二象限，
∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，
∴AF₁⊥AF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{MA}$，
∴設(shè)F₂M=5x，則MA=4x，
∵△F₂OM∽△F₂AF₁，
∴$\frac{{F}_{2}M}{{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{{F}_{2}O}{{F}_{2}A}$，即$\frac{5x}{2c}$=$\frac{c}{9x}$，
化簡(jiǎn)得：x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$c，
∴F₂A=9x=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，
由橢圓定義可知F₁A=2a-F₂A=2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c，
由勾股定理可知：${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$=${F}_{1}{A}^{2}$+${F}_{2}{A}^{2}$，
即4c²=（2a-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c）²+（$\frac{3\sqrt{10}}{5}$c）²，
化簡(jiǎn)得：4c²-$3\sqrt{10}$ac+5a²=0，
∴4e²-$3\sqrt{10}$e+5=0，
解得：e=$\frac{3\sqrt{10}±\sqrt{（3\sqrt{10}）^{2}-4×4×5}}{2×4}$=$\frac{3\sqrt{10}±\sqrt{10}}{8}$，
又∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{3\sqrt{10}-\sqrt{10}}{8}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，利用相似三角形及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．