Question

18．觀察下列三角形數(shù)表：
第一行                      1
第二行                    2   2
第三行                  3   4    3
第四行                 4  7    7    4
第五行               5  11  14    11   5
…
假設(shè)n行的第二個數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）依次寫出第八行的所有數(shù)字；
（2）歸納出a_n+1與a_n之間的關(guān)系式，并求出a_n的通項公式．

Answer 1

分析 由已知分析可得第n行的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字為n，其它數(shù)字規(guī)律是上一行的相鄰兩個數(shù)的和為下一行的數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）由已知分析可得第n行的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字為n，其它數(shù)字規(guī)律是上一行的相鄰兩個數(shù)的和，
用列舉的方法計算第六行的數(shù)有，6，16，25，25，16，6．
第七行的數(shù)有，7，22，41，50，41，22，7
第八行的數(shù)有，8，29，63，91，91，63，29，8．
（2）由已知可得：
當(dāng)n=2時，a_n+1-a_n=2；
當(dāng)n=3時，a_n+1-a_n=3；
當(dāng)n=4時，a_n+1-a_n=4；
當(dāng)n=5時，a_n+1-a_n=5；
當(dāng)n=6時，a_n+1-a_n=6；
當(dāng)n=7時，a_n+1-a_n=7；
…
歸納可得：a_n+1-a_n=n，
相加的a_n-a₂=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$，
∴a_n=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$+2=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．