Question

2．如圖，△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，以BA為直徑作⊙O，設(shè)點(diǎn)C是圓⊙O與直線(xiàn)PD的公共點(diǎn)，若∠ABC=∠DBC．
（1）求證：PD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若PA=6，BD=4，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明OC⊥PD，可得PD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）證明OC∥BD，求出圓的半徑，由切割線(xiàn)定理，求PC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，則∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=∠DBC，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PD，
∴PD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：設(shè)圓的半徑為r，則由（1）得OC⊥PD，
∵∠PDB=90°，
∴BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∵PA=6，BD=4，
∴$\frac{r}{4}=\frac{6+r}{6+2r}$，
∴r=3，
由切割線(xiàn)定理可得，PC²=PA•PB=6×12，
∴$PC=6\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)的證明，考查三角形相似的性質(zhì)，考查切割線(xiàn)定理，屬于中檔題．