Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2a（-1）^klnx（k∈N^*，a∈R且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2016時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥2ax對任意的x∈[e，+∞）恒成立，e為自然對數(shù)的底數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=g（x）在x=x₀處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=g（x）的極值點(diǎn)．若k=2016，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{a}$f（x）-$\frac{1}{a}$x²+x-$\frac{m}{x}$（m∈R）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，試判斷g（x₂）與x₂-1大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的奇偶性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$對任意的x∈[e，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出h（x）的最小值，求出a的范圍即可；
（3）求出g（x）的表達(dá)式，求出x₂的值，得到g（x₂）-x₂+1=-2ln（1+$\sqrt{1-m}$）+$\sqrt{1-m}$，令$\sqrt{1-m}$=t，則t≥0，令h（t）=-2ln（1+t）+t，求出h（t）的最大值是負(fù)數(shù)，從而比較大小．

解答 解：（1）f（x）=x²-2a（-1）^klnx（k∈N^*，a∈R且a＞0）的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2{a（-1）}^{k}}{x}$，
k為奇數(shù)時(shí)，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2a}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
k為偶數(shù)時(shí)，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2a}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）k=2006時(shí)，f（x）=x²-2alnx，關(guān)于x的不等式f（x）≥2ax對任意的x∈[e，+∞）恒成立，
即x²-2alnx≥2ax對任意的x∈[e，+∞）恒成立，
即a≤$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$對任意的x∈[e，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，則h′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{{（2x+2lnx）}^{2}}$＞0，
h（x）在[e，+∞）遞增，h（x）_最小值=h（e）=$\frac{{e}^{2}}{2e+2}$，
∴0＜a≤$\frac{{e}^{2}}{2e+2}$；
（3）k=2016時(shí)，f（x）=x²-2alnx，
g（x）=$\frac{1}{a}$f（x）-$\frac{1}{a}$x²+x-$\frac{m}{x}$=-2lnx+x-$\frac{m}{x}$，（x＞0），
g′（x）=-$\frac{2}{x}$+1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，
函數(shù)g（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，則g′（x）=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
解方程x²-2x+m=0，解得：x₂=1+$\sqrt{1-m}$（m＜1），
∴g（x₂）-x₂+1=-2ln（1+$\sqrt{1-m}$）+1-$\frac{m}{1+\sqrt{1-m}}$=-2ln（1+$\sqrt{1-m}$）+$\sqrt{1-m}$，
令$\sqrt{1-m}$=t，則t≥0，
令h（t）=-2ln（1+t）+t，則h′（t）=$\frac{1-t}{1+t}$，h″（t）=-$\frac{2}{{（1+t）}^{2}}$＜0，
∴h′（t）在（0，+∞）遞減，h′（t）_max=h′（0）=1，h′（1）=0，
∴x∈（0，1）時(shí)，h′（t）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，h′（t）＜0，
∴h（t）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴h（t）_max=h（1）=-2ln2+1＜0，
∴h（t）＜0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x₂）＜x₂-1．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，本題有一定的難度．