Question

19．如圖，正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，點D，E分別是A₁C，AB的中點．
（1）求證：ED∥平面BB₁C₁C；
（2）若AB=$\sqrt{2}$BB₁，求證：A₁B⊥平面B₁CE．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC₁，BC₁，則DE∥BC₁，由此能證明ED∥平面BB₁C₁C．
（2）推導(dǎo)出CE⊥AB，從而CE⊥平面ABB₁A₁，進而CE⊥A₁B，再推導(dǎo)出Rt△A₁B₁B∽Rt△B₁BE，從而A₁B⊥B₁E，由此能證明A₁B⊥平面B₁CE．

解答 證明：（1）連結(jié)AC₁，BC₁
∵AA₁C₁C是矩形，D是A₁C的中點，∴D是AC₁的中點，
在△AA₁C₁C中，∵D、E分別是AC₁、AB的中點，
∴DE∥BC₁，
∵DE?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴ED∥平面BB₁C₁C．
（2）∵△ABC是正三角形，E是AB的中點，∴CE⊥AB，
又∵正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，交線為AB，
∴CE⊥平面ABB₁A₁，
∴CE⊥A₁B，
在矩形ABB₁A₁中，∵$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}B}=\sqrt{2}=\frac{{B}_{1}B}{BE}$，
∴Rt△A₁B₁B∽Rt△B₁BE，∴∠B₁A₁B=∠BB₁E，
∴∠B₁A₁B+∠A₁B₁E=∠BB₁E+∠A₁B₁E=90°，
∴A₁B⊥B₁E，
∵CE，B₁E?平面B₁CE，CE∩B₁E=E，
∴A₁B⊥平面B₁CE．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．