Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）若方程f（x）=0有兩不相等的正根，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（2-x）成立，且對任意x∈（0，3）都有不等式f（x）＜2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)g（a）是f（x）在x∈[-5，5]的最小值，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組解出；
（2）由f（x+1）=f（1-x）可以求出a=-1，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解；
（3）討論f（x）在[-5，5]上的單調(diào)性求出最小值，從而求出g（a）的表達(dá)式，進(jìn)而求出g（a）的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)方程x²+2ax+2=0的兩根為x₁，x₂，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-8＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=-2a＞0}\\{{{x}_{1}x}_{2}=2＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜-$\sqrt{2}$．
（2）由題意得：x²+2ax+2=（2-x）²+2a（2-x）+2，
即4（1+a）x=0對任意x∈R恒成立，
∴a=-1．∴f（x）=x²-2x+2，
若對任意x∈（0，3）都有不等式f（x）＜2x+m恒成立，
即對任意x∈（0，3）都有不等式m＞x²-4x+2恒成立，
而y=x²-4x+2=（x-2）²-2在（0，3）上，
當(dāng)x=0時取得最大值2，
故m＞2；
（3）f（x）=（x+a）²+2-a²
f（x）圖象的對稱軸為x=-a，
當(dāng)-a＜-5，即a＞5時，f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（-5）=27-10a．
當(dāng)-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時，f（x）min=f（-a）=2-a2．
當(dāng)-a＞5，即a＜-5時，f（x）在[-5，5]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（5）=27+10a．
綜上所述：當(dāng)a＞5時，f_min（x）=27-10a；
當(dāng)-5≤a≤5時，f_min（x）=2-a²；
當(dāng)a＜-5時，f_min（x）=27+10a；
即g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{27-10a，a＞5}\\{2{-a}^{2}，-5≤a≤5}\\{27+10a，a＜-5}\end{array}\right.$，
故a=0時，g（a）最大，最大值是2．

點(diǎn)評 本題考查二次方程根的分布，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、計算能力．