Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-3m²x+1
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程
（2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（2）即為切線的斜率，再計算f（2），利用點斜式方程得出；
（2）令f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質列出不等式組解出m的范圍．

解答 解：（1）m=1時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1，
∴f′（x）=x²+2x-3，
∴切線的斜率k=f′（2）=5，又f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{5}{3}$=5（x-2），
即15x-3y-25=0．
（2）∵f（x）在（-2，3）上是減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，
即x²+2mx-3m²≤0在（-2，3）上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-4m-3{m}^{2}≤0}\\{9+6m-3{m}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得m≥3或m≤-2．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．