Question

7．已知f（x）=|ax-1|+|ax-3a|（a＞0）．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若不等式f（x）≥5的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，利用絕對值的幾何意義，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若不等式f（x）≥5的解集為R，求出f（x）的最小值，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）=|{x-1}|+|{x-3}|=\left\{{\begin{array}{l}{2x-4，\;（x≥3）}\\{2，\;（1≤x＜3）}\\{4-2x，\;（x＜1）}\end{array}}\right.$，
易得f（x）≥5解集為$\left\{{x|x≥\frac{9}{2}或x≤-\frac{1}{2}}\right\}$．　�。�5分）
（2）f（x）=|ax-1|+|ax-3a|≥|ax-1-（ax-3a）|=|3a-1|．
∵f（x）≥5解集為R，∴|3a-1|≥5恒成立，
∵a＞0，∴a≥2． （10分）

點評 本題考查絕對值不等式，考查函數的最值，正確轉化是關鍵．