Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若4sinAsinB-2cos（A-B）=$\sqrt{2}$．
（1）求角C的大小：
（2）已知$\frac{asinB}{sinA}=4$，△ABC的面積為8，求邊長c的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知等式可得2cos（A+B）=-2cosC=-$\sqrt{2}$，解得cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可求值．
（2）由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=4$，利用三角形面積公式可求a的值，由余弦定理可求得c的值．

解答 解：（1）∵4sinAsinB-2cos（A-B）=$\sqrt{2}$．即：4sinAsinB=2cos（A-B）+$\sqrt{2}$=2cosAcosB+2sinAsinB+$\sqrt{2}$．
∴可得：2cosAcosB-2sinAsinB+$\sqrt{2}$=0，解得：2cos（A+B）=-2cosC=-$\sqrt{2}$，
∴cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C為三角形內(nèi)角，C∈（0，π），
∴解得：C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=4$，可得：△ABC的面積：8=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×a×4×\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=4$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{32+16-2×4\sqrt{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．