Question

3．設(shè)f（x）=ax³+bx+c （a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f?（x）的最小值為-12．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得c=0，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；求出極值和端點處的函數(shù)值，即可得到所求的最值．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx+c （a≠0）為奇函數(shù)，
可得f（0）=0，即為c=0，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+b，
在點（1，f（1））處的切線斜率為3a+b，
由切線與直線x-6y-7=0垂直，可得3a+b=-6，
導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12，可得a＞0，b=-12，
解方程可得a=2，b=-12，
即有f（x）=2x³-12x；
（2）f（x）=2x³-12x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x²-12，
由6x²-12＞0，解得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；
由f′（x）=6x²-12=0，解得x=$\sqrt{2}$（負(fù)的舍去），
由f（-1）=-2+12=10，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=54-36=18，
可得f（x）在[-1，3]上的最大值為18，最小值為-8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．