Question

3．函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinωx+1（ω＞0），相鄰兩對(duì)稱軸距離為$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
（Ⅱ）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上的最大值與最小值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinωx+1（ω＞0）=$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\sqrt{3}$sinωx+1
=cos（ωx-$\frac{π}{3}$）+1，
它的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸距離為$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為$\frac{1}{2}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=0時(shí)，函數(shù)取得最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的周期性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．