Question

12．已知M是以點C為圓心的圓（x+1）²+y²=16上的動點，定點D（1，0），點H在DM上，點N在CM上，且滿足$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0，動點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點N（4，0）的直線l與軌跡E及單位圓x²+y²=1自右向左依次交于點P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請證明你的結(jié)論．
（3）設直線x=my+1（m≠0）與橢圓E交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′．試問：當m變化時直線A′B與x釉是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$、$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0可知|ND|=|NM|，等量代換可知|CN|+|ND|=4，進而可得曲線E的方程；
（2）通過記PS的中點為G，利用|PQ|=|RS|可知OG⊥PS，分直線PS的斜率存在與不存在兩種情況討論即可；
（3）通過聯(lián)立直線與橢圓方程，進而結(jié)合韋達定理、在直線A′B方程中令y=0，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{DM}$=$2\overrightarrow{DH}$，$\overrightarrow{NH}$$•\overrightarrow{DM}$=0，
∴NH為DM的垂直平分線，
∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=4，
∴|CN|+|ND|=4，
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0）、D（1，0）為焦點的長軸為4的橢圓，
于是曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）結(jié)論：存在直線l：y=0滿足條件．
理由如下：
記PS的中點為G，則當|PQ|=|RS|時，點G為QR的中點，即OG⊥PS，
①當直線PS的斜率不存在時顯然滿足題意；
②假設直線PS的斜率存在，設滿足題意的直線l的方程為：y=k（x-4），
并與曲線E的方程聯(lián)立，消去y整理得：
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
設P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-8）=-$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$，
∵OG⊥PS，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$•k=-1，即$\frac{-24k}{32{k}^{2}}$•k=-1，即$\frac{3}{4}$=1，矛盾；
綜上所述，存在直線l：y=0滿足條件．
（3）結(jié)論：直線A′B與x軸交于定點（4，0）．
理由如下：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
經(jīng)過點A′（x₁，-y₁）、B（x₂，y₂）的直線方程為：$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，則x=x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$•y₁=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}+（{y}_{2}+{y}_{1}）{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴當y=0時，x=$\frac{（m{y}_{2}+1）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{-\frac{18m}{3{m}^{2}+4}-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}{-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}$
=4，
這說明：直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．