Question

18．若函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，則a的取值范圍（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． （-∞，-3]
• C． [-3，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立解答案．

解答 解：由f（x）=x²+ax-$\frac{1}{x}$，得f′（x）=2x+a+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+{ax}^{2}+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x³+ax²+1，
要使函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，
則g（x）=2x³+ax²+1在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x²+2ax=2x（3x+a），
①當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{a}{4}$＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，滿足條件；
②當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜0時(shí)，3x+a≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{a}{4}$＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，滿足條件；
③a＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{3}$，令g′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{a}{3}$，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{a}{3}$）遞減，在（-$\frac{a}{3}$，+∞）遞增，
∴g（x）_min≥g（-$\frac{a}{3}$）=2×${（-\frac{a}{3}）}^{3}$+a${（-\frac{a}{3}）}^{2}$+1≥0，
解得：a≥-3，此時(shí)f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，滿足條件；
綜上：a≥-3；
故答案為：[-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了導(dǎo)函數(shù)在求解含有參數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．