Question

已知函數，.

（Ⅰ）設，求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若對，總有成立.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：對于任意的正整數，不等式

恒成立.

Answer 1

解：（Ⅰ），定義域為，

，        …… 1分

（1）當時，令，，，

令， ；                      

（2）當時，令，則或， 

令， ；                         …… 3分                 

（3）當時，恒成立；              

（4）當時，令，則或，

令， ；                     …… 4分

綜上：當時，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；

當時，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為；

當時，的增區(qū)間為；

當時，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.  ……5分

（Ⅱ）（1）由題意，對任意，恒成立，即恒成立，

     只需.                             ……6分

由第（Ⅰ）知：                     

，顯然當時， ，此時對任意，

不能恒成立； （或者分逐個討論）               …… 8分

當時，，；

綜上：的取值范圍為.                         …… 9分

（2）證明：由（1）知：當時，，……10分

即，當且僅當時等號成立.

當時，可以變換為，                     …… 12分

在上面的不等式中，令，則有

不等式恒成立.