Question

10．如圖：已知，在△OAB中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是將向量$\overrightarrow{OB}$分為2：1的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，則三角形OEC與OBC的面積的比值是（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)圖形可設(shè)$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，而由條件可得到$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，從而便可得到$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，這樣由C，E，D三點(diǎn)共線便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$，解出$λ=\frac{4}{5}$，從而可得到${S}_{△OEC}=\frac{4}{5}{S}_{△OAC}$，而${S}_{△OAC}=\frac{1}{2}{S}_{△OBC}$，從而便可得出三角形OEC與OBC的面積的比值．

解答 解：∵O，E，A三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)；
∴設(shè)$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
又$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，帶入上式得，$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$；
∵C，E，D三點(diǎn)共線；
∴$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$；
故$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴${S}_{△OEC}=\frac{4}{5}{S}_{△OAC}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}{S}_{△OBC}$；
∴三角形OEC與OBC的面積的比值是$\frac{2}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 考查共線向量基本定理，向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，知道當(dāng)C，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，有$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及三角形的面積公式．