Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別為A、B，半焦距為c，若點P（c，b）滿足$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=0，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用條件得出△ABP是等腰三角形，且AB=BP，可得a，c的關系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設AP的中點為C，則
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BP}$）•$\overrightarrow{AP}$=0，
∴$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AP}$，
∴△ABP是等腰三角形，且AB=BP，
∴2a=$\sqrt{（c-a）^{2}+^{2}}$，
∴2a²=c²-ac，
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．