Question

17．正四面體的棱長(zhǎng)為4$\sqrt{6}$，頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為144π．

Answer 1

分析 正四面體A-BCD中，過(guò)D作DE⊥BC，交BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥平面BCD，交DE于F，連結(jié)AE，設(shè)O為正四面體A-BCD的外接球的球心，則O在AF上，連結(jié)OD，設(shè)球O的半徑OA=OC=R，推導(dǎo)出R²=（8-R）²+（4$\sqrt{2}$）²，由此能求出R，從而能求出該球的表面積．

解答 解：過(guò)D作DE⊥BC，交BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥平面BCD，交DE于F，連結(jié)AE，
設(shè)O為正四面體A-BCD的外接球的球心，則O在AF上，連結(jié)OD，
∵正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為4$\sqrt{6}$，
∴E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是△BCD重心，
∴DF=$\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\sqrt{96-24}=4\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{3}DE=2\sqrt{2}$，
AE=$\sqrt{96-24}$=6$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{72-8}$=8，
設(shè)球O的半徑OA=OC=R，
則R²=（8-R）²+（4$\sqrt{2}$）²，
解得R=6，
∴該球的表面積S=4πR²=4π×36=144π．
故答案為：144π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．