Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（2cosx，2）$，$\overrightarrow b=（cosx，\frac{1}{2}）$，記函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\sqrt{3}sin2x$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最值以及取得最值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）使用向量的數(shù)量積公式和二倍角公式化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程解出．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+1+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，此時(shí)f（x）取得最小值f_min（x）=0，
∴f（x）取得最小值時(shí)x的集合為{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+kπ，此時(shí)f（x）取得最小值f_max（x）=4，
∴f（x）取得最大值時(shí)的集合是{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．