Question

9．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，S₉=54，若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{7}{16}$，則n=14．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差d=1，從而a_n=n+1，進而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此根據(jù)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{7}{16}$，利用裂項求和法能求出n的值．

解答 解：∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，S₉=54，
∴$9×2+\frac{9×8}{2}d=54$，解得d=1，
∴a_n=2+n-1=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{7}{16}$，
解得n=14．
故答案為：14．

點評 本題考查等差數(shù)列的項數(shù)n的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、裂項求和法的合理運用．