Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的最值，得出值域；
（2）令g（x）=f（x）-5，根據(jù)對稱軸與區(qū)間[a，a+2]的關(guān)系求出g（x）的最大值，令g_max（x）≤0解出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時，f（x）=x²-2x+2，∴f（x）的對稱軸為x=1，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，4]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1，當(dāng)x=4時，f（x）取得最大值f（4）=10．
∴f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍是[1，10]．
（2）∵f（x）≤5，∴x²-2x+2≤5，即x²-2x-3≤0，令g（x）=x²-2x-3，g（x）的對稱軸為x=1．
①若a+1≥1，即a≥0時，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a+2）=a²+2a-3，
∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，∴g（x）=x²-2x-3≤0恒成立，
∴a²+2a-3≤0，解得0≤a≤1．
②若a+1＜1，即a＜0時，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a）=a²-2a-3，
∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，∴g（x）=x²-2x-3≤0恒成立，
∴a²-2a-3≤0，解得-1≤a＜0，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)恒成立問題，常根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來判斷單調(diào)性，屬于中檔題．