10.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R.
(1)若t=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的取值范圍;
(2)若t=1,且對任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)判斷f(x)在[0,4]上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出f(x)的最值,得出值域;
(2)令g(x)=f(x)-5,根據(jù)對稱軸與區(qū)間[a,a+2]的關(guān)系求出g(x)的最大值,令gmax(x)≤0解出a的取值范圍.

解答 解:(1)當(dāng)t=1時,f(x)=x2-2x+2,∴f(x)的對稱軸為x=1,
∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在(1,4]上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值f(1)=1,當(dāng)x=4時,f(x)取得最大值f(4)=10.
∴f(x)在區(qū)間[0,4]上的取值范圍是[1,10].
(2)∵f(x)≤5,∴x2-2x+2≤5,即x2-2x-3≤0,令g(x)=x2-2x-3,g(x)的對稱軸為x=1.
①若a+1≥1,即a≥0時,g(x)在[a,a+2]上的最大值為g(a+2)=a2+2a-3,
∵對任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,∴g(x)=x2-2x-3≤0恒成立,
∴a2+2a-3≤0,解得0≤a≤1.
②若a+1<1,即a<0時,g(x)在[a,a+2]上的最大值為g(a)=a2-2a-3,
∵對任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,∴g(x)=x2-2x-3≤0恒成立,
∴a2-2a-3≤0,解得-1≤a<0,
綜上,實數(shù)a的取值范圍是[-1,1].

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值,函數(shù)恒成立問題,常根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來判斷單調(diào)性,屬于中檔題.

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