Question

10．f（x）是R上的奇函數(shù)，a∈[-π，π]，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosa|+|x+2cosa|+3cosa），若對(duì)任意x∈R，f（x-3）≤f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），分類討論．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x-3）≤f（x），可得6cosα≤3，解出即可．

解答 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），
∴當(dāng)0＜x≤-cosα?xí)r，f（x）=$\frac{1}{2}$（-x-cosα-x-2cosα+3cosα）=-x；
當(dāng)-cosα＜x≤-2cosα?xí)r，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα-x-2cosα+3cosα）=cosα；
當(dāng)x＞-2cosα?xí)r，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα+x+2cosα+3cosα）=x+3cosα．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x-3）≤f（x），
∴6cosα≤3，
∴cosα≤$\frac{1}{2}$，
解得α∈[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]．
故答案為：[-π，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{π}{2}$，π]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．