Question

20．已知點A，B，C，D均在球O上，AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若三棱錐D-ABC體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，則球O的表面積為16π．

Answer 1

分析 確定S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{3}$，利用三棱錐D-ABC的體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，可得D到平面ABC的最大距離為1，再利用射影定理，即可求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱錐D-ABC的體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴D到平面ABC的最大距離為1，
∵cos∠A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠A=$\frac{1}{2}$，
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則2r=2$\sqrt{3}$，∴r=$\sqrt{3}$；
設(shè)球的半徑為R，則（$\sqrt{3}$）²=1×（2R-1），
∴R=2，
∴球O的表面積為4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評 本題考查球的半徑，考查體積的計算，確定D到平面ABC的最大距離為1是關(guān)鍵．