Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（1）=1，對(duì)任意x，y∈R，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），則f（2014）=-1．

Answer 1

分析 由條件可令x不變，y=1，即有f（x+1）+f（x-1）=f（x），兩次將x換為x+1，可得f（x+6）=f（x），進(jìn)而得到f（x）為最小正周期為6的函數(shù)，f（2014）=f（6×335+4）=f（4），再由f（4）=-f（1），即可得到所求值．

解答 解：對(duì)任意x，y∈R，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
可令x不變，y=1，可得f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即為f（x+1）+f（x-1）=f（x），
將x換為x+1，f（x+2）+f（x）=f（x+1），
可得f（x+2）+f（x-1）=0，
將x換為x+1，可得f（x+3）+f（x）=0，
再將x換為x+3，可得f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
則f（x）為最小正周期為6的函數(shù)，
f（2014）=f（6×335+4）=f（4），
由f（4）+f（1）=0，可得f（4）=-f（1）=-1．
即f（2014）=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性和運(yùn)用，考查抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．