Question

15．已知f（x）=2sin（ωx+φ），函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為（2，2），由此最高點(diǎn)到相鄰的最低的曲線與x軸交于點(diǎn)（6，0）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)取得最小值時(shí)x的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）圖象最高點(diǎn)為（2，2），可得A=2；由此最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（6，0）可得函數(shù)的周期T，利用周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，然后把（2，2）代入可得φ，即可得解解析式．
（2）由$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)取得最小值時(shí)x的值；由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得單調(diào)遞增區(qū)間；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可得A=2，$\frac{T}{4}$=6-2=4，
∴T=16，由周期公式 T=$\frac{2π}{ω}$=16，可得ω=$\frac{π}{8}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由函數(shù)圖象過(guò)（2，2）代入可得2sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=2，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵k=0時(shí)，可得：φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）由$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得：當(dāng)x=16k+10，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最小值-2．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得單調(diào)遞增區(qū)間為：[16k-6，16+2]，k∈Z．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得單調(diào)遞減區(qū)間為：[16k+2，16k+10]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，其步驟：由函數(shù)的最值求解A；由函數(shù)的周期求解ω；再把函數(shù)所過(guò)的一點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）代入可求φ，從而可求函數(shù)的解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．