【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形.平面分別為的中點,與平面所成的角為

1)證明:為異面直線的公垂線;

2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

1)要證為異面直線的公垂線,即證,,轉(zhuǎn)證線面垂直即可;(2)以為坐標原點,、所在直線分別為、、軸,建立空間直角坐標系,求出平面與平面的法向量,代入公式即可得到結(jié)果.

1)連接、交于點,連接、

因為四邊形為矩形,且分別是、的中點,

所以,且

平面,所以平面,所以

,所以平面,所以

因為與平面所成的角為,所以

從而.所以

的中點,連接、,則由、分別為、的中點,

從而,從而四邊形為平行四邊形.

又由,知

平面,所以

,從而平面

從而平面平面,從而

綜上知為異面直線的公垂線.

2)因為,設(shè),則,

從而,所以

為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸,建立空間直角坐標系,

、、,

從而,,

設(shè)平面的一個法向量為,則,

,從而得

同理,可求得平面的一個法向量為

設(shè)二面角的平面角為,從而

練習(xí)冊系列答案
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的最大值和最小值分別為、,則的值域為

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A.1B.2C.3D.4

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