Question

5．已知中心在原點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{21}}{3}$的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P（6，6），動(dòng)直線l經(jīng)過△A₁PA₂的重心G與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，Q為線段MN的中點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）當(dāng)直線l的斜率為何值時(shí)，$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，由雙曲線的性質(zhì)，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{12}{9}$，進(jìn)而可將雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=λ，λ≠0；將P的坐標(biāo)代入，可得λ的值，進(jìn)而可得答案；
（2）首先根據(jù)P、A₁、A₂的坐標(biāo)得到三角形重心G的坐標(biāo)，再假設(shè)存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，設(shè)出M、N的坐標(biāo)，分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則l的方程可以設(shè)為y=m（x-2）+2，與雙曲線方程聯(lián)立消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，利用$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0，可得（3-x，-y）•（-3，-6）=0，可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{21}{9}$，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{12}{9}$．
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=λ，λ≠0；
由已知，雙曲線過點(diǎn)P（6，6），
將其坐標(biāo)代入方程，解可得λ=1，
所以所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）P、A₁、A₂的坐標(biāo)依次為（6，6）、（-3，0）、（3，0），
∴三角形的重心G的坐標(biāo)為（2，2）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y）．
∴l(xiāng)的方程為y=m（x-2）+2，與雙曲線方程聯(lián)立消去y，
整理得（4-3m²）x²+（12m²-12m）x+3（2-2m）²-36=0．
∴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{6{m}^{2}-6m}{4-3{m}^{2}}$，y=$\frac{8-8m}{4-3{m}^{2}}$
$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0，可得（3-x，-y）•（-3，-6）=0，
∴x+2y-3=0，
∴-$\frac{6{m}^{2}-6m}{4-3{m}^{2}}$+2×$\frac{8-8m}{4-3{m}^{2}}$-3=0
∴m=$\frac{5±\sqrt{13}}{3}$，
∴直線l的斜率為$\frac{5±\sqrt{13}}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，計(jì)算量比較大，解題時(shí)，充分利用題干的條件，簡(jiǎn)化方程，可以降低運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確率．