Question

15．設f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3．
（2）若對任意的x∈R，f（x）≥4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由條件利用絕對值的意義求得|x-1|+|x-a|的最小值為|a-1|，由題意可得|a-1|≥4，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3．
根據(jù)|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對應點到1、-1對應點的距離之和，
而-1.5和1.5對應點到1、-1對應點的距離之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤-1.5，或 x≥1.5}．
（2）若對任意的x∈R，f（x）≥4，f（x）=|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對應點到1、a對應點的距離之和，
由題意可得它的最小值|a-1|≥4，求得a-1≥4 或a-1≤-4，求得a≥5 或a≤-3，
故實數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）∪（-∞，-3]．

點評 本題主要考查絕對值的意義、絕對值的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．