Question

14．函數(shù)y=$\frac{9}{si{n}^{2}x}$+4sin²x的最小值是13．

Answer 1

分析 令t=sin²x（0＜t≤1），則y=4t+$\frac{9}{t}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：令t=sin²x（0＜t≤1），
則y=4t+$\frac{9}{t}$的導數(shù)為y′=4-$\frac{9}{{t}^{2}}$，
可得0＜t≤1時，y′＜0，
函數(shù)遞減，則有t=1，即x=2kπ±$\frac{π}{2}$，k∈Z，
函數(shù)取得最小值，且為13．
故答案為：13．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和正弦函數(shù)的值域，通過導數(shù)判斷單調(diào)性求得最值是解題的關鍵．