Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin$\frac{πx}{3}$-4sin²$\frac{πx}{6}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$）-2，根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求值得解；
（2）由x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]，可求$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解．

解答 （本題滿分為13分）
解：（1）∵f（x）=2sin$\frac{πx}{3}$-4sin²$\frac{πx}{6}$
=2sin$\frac{πx}{3}$-2（1-cos$\frac{πx}{3}$）
=2$\sqrt{2}$（sin$\frac{πx}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{πx}{3}$sin$\frac{π}{4}$）-2
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$）-2．…3分
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．…5分
（2）∵x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]，
∴$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，…7分
∵f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上是增函數(shù)，在區(qū)間[$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$]上是減函數(shù)，…9分
而f（$\frac{1}{4}$）=$\sqrt{6}$-2，f（$\frac{3}{4}$）=2$\sqrt{2}-2$，f（$\frac{11}{4}$）=-$\sqrt{2}-2$，…11分
∴f（x）的區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]上的最大值為2$\sqrt{2}$-2，最小值為-$\sqrt{2}-2$．…13分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質的應用，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．