Question

11．函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α}{2}$）=2，求α的值；
（3）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的最大值求出A，通過對稱軸求出周期，求出ω，得到函數(shù)的解析式．
（2）通過$f（\frac{α}{2}）=2$，求出$sin（α-\frac{π}{6}）\;=\frac{1}{2}$，通過α的范圍，求出α的值．
（3）求出角2x-$\frac{π}{6}$的范圍結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為3，∴A+1=3，即A=2，
∵函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，T=π，所以ω=2．
故函數(shù)的解析式為y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵$f（\frac{α}{2}）=2$，∴$f（\frac{α}{2}）=2sin（α-\frac{π}{6}）\;+1=2$，
∴$sin（α-\frac{π}{6}）\;=\frac{1}{2}$，
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$-\frac{π}{6}＜α-\frac{π}{6}＜\;\frac{π}{3}$，
∴$α-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
∴$α=\frac{π}{3}$．
（3）若x∈（0，$\frac{π}{2}$]，則2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（sin（-$\frac{π}{6}$），sin$\frac{π}{2}$]=（-$\frac{1}{2}$，1]，
則2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-1，2]，2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈（0，3]，
即函數(shù)f（x）的取值范圍是（0，3]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查計算能力，根據(jù)條件求出ω的值是解決本題的關(guān)鍵．．