Question

3．△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H是邊AD的中點(diǎn)，平面BCH與AE交于點(diǎn)I．

（Ⅰ）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求三棱錐A-HIC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明ED∥平面BCH，ED∥HI，然后利用平行公理證明IH∥BC．、
（Ⅱ）求出棱錐的底面面積以及高，即可求解體積．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镈、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，
所以ED∥BC，
因?yàn)锽C?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH
因?yàn)镋D?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI
所以ED∥HI
又因?yàn)镋D∥BC，
所以IH∥BC．…（6分）
（Ⅱ）解：V_A-CIH=V_C-AIH，
${S_{△AIC}}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
高CD=2，
$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，直線與直線平面的證明，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用．考查空間想象能力以及計(jì)算能力．