Question

10．將函數(shù)$y=sin（{x-\frac{π}{3}}）$的圖象上每點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其圖象的對稱軸方程；
（2）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，a=2，b=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和圖象平移變換法則求出f（x）的解析式，由整體思想和正弦函數(shù)的對稱軸方程求出其圖象的對稱軸方程；
（2）由（1）化簡$f（A）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由內角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由條件和正弦定理求出sinB的值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
令$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
所以f（x）的圖象的對稱軸方程是$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（2）由（1）得，$f（A）=sin（2A-\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因0＜A＜π，所以$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
則$2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$或$2A-\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$，
當A=$\frac{π}{3}$時，因為$a=2，b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
則$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$；
當A=$\frac{π}{2}$時，因為$a=2，b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
則$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}×1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查正弦定理，三角函數(shù)圖象平移變換法則，以及正弦函數(shù)的對稱軸方程的應用，考查整體思想，化簡、計算能力．