7.設(shè)曲線y=2016xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,2016)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=log2016xn,則a1+a2+…+a2015的值為( 。
A.2016B.2015C.1D.-1

分析 由題意可得切點(diǎn)P(1,2016),f′(x)=2016(n+1)xn,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k,進(jìn)而可求切線方程,切線方程,在方程中,令y=0可得,xn=$\frac{n}{n+1}$,利用累乘可求x1x2…x2015=$\frac{1}{2016}$,代入可求出答案.

解答 解:由題意可得切點(diǎn)P(1,2016),
對(duì)函數(shù)f(x)=2016xn+1求導(dǎo)可得,f′(x)=2016(n+1)xn,
∴y=f(x)在點(diǎn)P處的切線斜率k=f′(1)=2016(n+1),
切線方程為y-2016=2016(n+1)(x-1),
令y=0可得,xn=$\frac{n}{n+1}$,
∴x1x2…x2015=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$,
∴a1+a2+…+a2015=log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015
=log2016(x1x2…x2015
=log2016 2016-1=-1.
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,累乘及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用,還考查了基本運(yùn)算的能力.屬于中檔題.

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