Question

7．設(shè)曲線y=2016xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，2016）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=log₂₀₁₆x_n，則a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． 2016
• B． 2015
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 由題意可得切點(diǎn)P（1，2016），f′（x）=2016（n+1）xⁿ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進(jìn)而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$，代入可求出答案．

解答 解：由題意可得切點(diǎn)P（1，2016），
對(duì)函數(shù)f（x）=2016xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=2016（n+1）xⁿ，
∴y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率k=f′（1）=2016（n+1），
切線方程為y-2016=2016（n+1）（x-1），
令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅
=log₂₀₁₆（x₁x₂…x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₆ 2016^-1=-1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，累乘及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了基本運(yùn)算的能力．屬于中檔題．