Question

20．求適合下列條件的曲線方程．
（1）焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點M（3，2）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），由焦距是4，且經(jīng)過點M（3，2），利用橢圓的性質(zhì)能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形，得p=8，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）設(shè)焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵焦距是4，且經(jīng)過點M（3，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{9}{^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，或a²=1，b²=-3（舍），
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）∵頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點到準(zhǔn)線的距離為4，
由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形，得：頂點到準(zhǔn)線距離為$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}=4$，解得p=8，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=±16x或x²=±16y．

點評 本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線性質(zhì)的合理運用．