Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|e^x-e^2a|，若f（x）在區(qū)間（-1，3-a）內(nèi)的圖象上存在兩點，在這兩點處的切線相互垂直，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：當x≥2a時，f（x）=|e^x-e^2a|=e^x-e^2a，此時為增函數(shù)，
當x＜2a時，f（x）=|e^x-e^2a|=-e^x+e^2a，此時為減函數(shù)，
即當x=2a時，函數(shù)取得最小值0，設(shè)兩個切點為M（x₁，f（x₁）），N（（x₂，f（x₂）），
由圖象知，當兩個切線垂直時，必有，x₁＜2a＜x₂，
即-1＜2a＜3-a，得-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∵k₁k₂=f′（x₁）f′（x₂）=${e}^{{x}_{1}}$$•（-{e}^{{x}_{2}}）$=-${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-1，
則${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1，即x₁+x₂=0，
∵-1＜x₁＜0，∴0＜x₂＜1，且x₂＞2a，
∴2a＜1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
綜上-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．