Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow$=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）已知數(shù)列a_n=n²f（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）（n∈N⁺），求{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角差的正弦公式即可化簡(jiǎn)得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$，從而得到f（x）=$2sin（2x+\frac{2π}{3}）$，只需解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$即可得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)上面求得的f（x）可求出$f（\frac{nπ}{2}-\frac{11π}{24}）=2sin（nπ-\frac{π}{4}）$，從而得到${a}_{n}=2{n}^{2}sin（nπ-\frac{π}{4}）$，這便得出${S}_{2n}=\sqrt{2}$[（1²-2²）+（3²-4²）+…+（2n-1）²-（2n）²]，可得到（2n-1）²-（2n）²=-4n+1，這樣即可利用等差數(shù)列的求和公式求出（1²-2²）+（3²-4²）+…+（2n-1）²-（2n）²，從而得出S_2n．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-2sinx•cosx$$+\sqrt{3}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）$=$-sin2x+\sqrt{3}cos2x$=$-2sin（2x-\frac{π}{3}）=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$；
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$；
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，則：kπ$-\frac{7π}{12}≤x≤kπ-\frac{π}{12}，k∈Z$；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}$]；
（Ⅱ）$f（\frac{nπ}{2}-\frac{11π}{24}）=2sin（nπ-\frac{π}{4}）$；
∴${a}_{n}=2{n}^{2}sin（nπ-\frac{π}{4}）$；
∴${S}_{2n}=\sqrt{2}$[1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²+（2n）²]；
又（2n-1）²-（2n）²=-4n+1；
∴${S}_{2n}=\sqrt{2}•\frac{（-3-4n+1）n}{2}=-2\sqrt{2}{n}^{2}-\sqrt{2}n$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，等差數(shù)列的求和公式．