Question

10．如圖，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，PA=2，求直線AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以A為原點，DA為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與PB所成角的余弦值．

解答 解：如圖，以A為原點，DA為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意A（0，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，2），B（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
設(shè)直線AC與PB所成角為θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|3|}{2×\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．
∴直線AC與PB所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．