Question

5．單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}，a₂=1，且a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{a_n} 的前n 項(xiàng)和為S_n，設(shè)b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n} 的前n 項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=1，且a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列，
可得a₃²=a₂a₆，即有（1+d）²=1•（1+4d），
解得d=2（0舍去），
則a_n=a₂+（n-2）d=1+2（n-2）=2n-3；
（2）由（1）可得a₁=-1，d=2，
可得S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=n（n-2），
即有b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n 項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4{n}^{2}+12n+8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．