Question

11．（文科）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠CA₁D=45°，求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得側(cè)棱垂直于底面，得到AE⊥BB₁，再由E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，可得AE⊥BC，利用線面垂直的判定得到AE⊥平面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）由∠CA₁D=45°，可得△CA₁D是等腰直角三角形，再求解直角三角形得到直三棱柱的高，進(jìn)一步得到CF的長(zhǎng)度，則由三棱錐體積公式求得三棱錐F-AEC的體積．

解答 （Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴B₁B⊥底面ABC，則AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
又B₁B∩BC=B，
因此AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）∵∠CA₁D=45°，
∴A₁D=CD，
在正三角形ABC中，由AB=BC=AC=2，
得$CD=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}D=CD=\sqrt{3}$，
在Rt△AA₁D中，$A{A}_{1}=\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
∴$FC=\frac{1}{2}A{A}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故三棱錐F-AEC的體積$V=\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了棱錐、棱柱、棱臺(tái)體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．