Question

2．在空間直角坐標(biāo)系下，試判定直線l：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+z-1=0}\\{x+2y-z-2=0}\end{array}\right.$與平面π：3x-y+2z+1=0的位置關(guān)系，并求出直線l與平面π的夾角的正弦值．

Answer 1

分析 先分別求出平面π：3x-y+2z+1=0、平面2x+y+z-1=0、平面x+2y+z-1=0的法向量，再求出直線l的方向向量，由此能判斷直線l與平面π的位置關(guān)系，并能求出直線l與平面π的夾角的正弦值．

解答 解：∵平面π：3x-y+2z+1=0的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-1，2），
平面2x+y+z-1=0的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，1，1），
平面x+2y+z-1=0的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，2，-1），
則直線l的方向向量為$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{2}&{1}&{1}\\{1}&{2}&{-1}\end{array}|$=-3$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$+3$\overrightarrow{k}$=（-3，3，3），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-9-3+6=-6，
∴直線l：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+z-1=0}\\{x+2y-z-2=0}\end{array}\right.$與平面π：3x-y+2z+1=0相交；
設(shè)直線l與平面π的夾角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{27}•\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{21}$．
∴直線l與平面π的夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面位置關(guān)系的判斷，考查直線與平面的夾角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．