Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f（x）的保值區(qū)間，若f（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是（e，+∞），則m的值為1．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合f（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是（e，+∞），可得其定義域和值域均為（e，+∞），由此列式求得m值．

解答 解：∵f′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，得x＞1，
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，同理可得f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
又∵f（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是[e，+∞），則定義域?yàn)閇e，+∞），
∴函數(shù)f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（x）_min=f（e）=e+m-1=e，
∴m=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．